中国最早的大型佛教石窟寺遗址克孜尔千佛洞,位于新疆阿克苏地区拜城县克孜尔镇东南$7$千米明屋塔格山的悬崖上.今年$8$月,小肖和他的父母一起去克孜尔千佛洞玩耍,从大门$B$到石窟群$A$可以选择步行和坐马车两种方式.大门$B$位于石窟群$A$南偏东$37^{\circ}$的位置,小肖和爸爸以速度$a$从大门$B$沿$BA$方向步行至石窟群$A$,妈妈乘坐马车沿$B\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A$的路线到石窟群$A$和他们汇合,马车的速度是小肖和爸爸速度的$\frac{8}{7}$倍,$D$位于大门$B$北偏西$60^{\circ}$位置,$B$、$D$之间距离为$1200$米,$C$在$D$正西方向$600$米处,石窟群$A$在$C$的正北方向.
$(1)$求路线$AC$的长；(结果保留根号）
$(2)$妈妈和小肖、爸爸谁先到石窟群$A$处?(参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.4$,$\sqrt{3}\approx 1.7$,$\sin 53^{\circ}\approx \frac{4}{5}$,$\cos 53^{\circ}\approx \frac{3}{5}$,$\tan 53^{\circ}\approx \frac{4}{3})$.