数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式,将一些多项式因式分解.例如:利用图$1$可以得到$a^{2}+2ab+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}$.
$(1)$请把表示图$2$面积的多项式因式分解:______(直接列出等式即可）；
$(2)$若$a+b+c=13$,$a^{2}+b^{2}+c^{2}=57$,求$ab+ac+bc$的值；
$(3)$如图$3$,有足够数量的边长分别为$a$,$b$的正方形纸片和长为$b$、宽为$a$的长方形纸片,请利用这些纸片将多项式$2a^{2}+7ab+3b^{2}$因式分解,并画出图形.