定义运算$\min \{a,b\}$:当$a\geqslant b$时,$\min \{a,b\}=b$；当$a \lt b$时,$\min \{a,b\}=a$；如:$\min \{4,0\}=0$,$\min \{2,2\}=2$,$\min \{-3,-1\}=-3$.根据该定义运算完成下列问题:
$(1)\min \{-3,2\}=\_\_\_\_\_\_,$当$x\leqslant 3$时$,\min \{x,3\}=$______；
$(2)$如图,已知直线$y_{1}=x+m$与$y_{2}=kx-2$相交于点$P\left(-2,1\right)$,若$\min \{x+m,kx-2\}=kx-2$,结合图象,直接写出$x$的取值范围是______；
$(3)$若$\min \{3x-1,-x+3\}=3-x$,求$x$的取值范围.