如图,将一个边长为$a+b$的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形）,请认真观察图形,解答下列问题:
$(1)$根据图中条件,请用两种方法表示该图形的总面积（用含$a$、$b$的代数式表示出来）；
方法$1:S=$______,方法$2:S= \_\_\_\_\_\_.$
$(2)$如果图中的$a$、$b\left(a \gt b\right)$满足$a^{2}+b^{2}=57$,$ab=12$,求$a+b$的值.