数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
$(1)$【经历体验】已知$m$,$n$均为正实数、且$m+n=4$,求$\sqrt{{m}^{2}+1}+\sqrt{{n}^{2}+4}$的最小值.通过分析,小明想到了利用下面的构造解决此问题:如图,$AB=4$,$AC=1$,$BD=2$,$AC\bot AB$,$BD\bot AB$,点$E$是线段$AB$上的动点,且不与端点重合,连接$CE$,$DE$,设$AE=m$,$BE=n$.
①用含$m$的代数式表示$CE=$______,用含$n$的代数式表示$DE=$______；
②据此写出$\sqrt{m^2+1}+\sqrt{n^2+4}$的最小值是______；
$(2)$【类比应用】根据上述的方法,代数式$\sqrt{x^2+25}+\sqrt{(x-16)^2+49}$的最小值是______；
$(3)$【感悟探索】
①已知$a$,$b$,$c$为正数,且$a+b+c=1$,试运用构图法,画出图形,并写出$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}$的最小值；
②若$a$,$b$为正数,写出以$\sqrt{a^2+b^2}$,$\sqrt{4a^2+4b^2}$,$\sqrt{9a^2+b^2}$为边的三角形的面积是______.