通过第$14$章的学习,我们已经知道,对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式:如图$1$可以得到$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$；如图$2$可以得到:$\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$；现有长与宽分别为$a$、$b$的小长方形若干个,用四个相同的小长方形拼成图$3$的图形,请认真观察图形,解答下列问题:
$(1)$【探索发现】
根据图中条件,猜想并验证$\left(a+b\right)^{2}$与$\left(a-b\right)^{2}$之间的关系（用含$a$、$b$的代数式表示出来）；图$3$表示:______.
$(2)$【解决问题】
①若$x+y=8$,$x^{2}+y^{2}=40$,则$xy=$______；
②当$\left(x-300\right)\left(200-x\right)=1996$时,求$\left(2x-500\right)^{2}$的值.
$(3)$【拓展提升】
如图$4$,点$C$是线段$AB$上的一点,以$AC$,$BC$为边向两边作正方形$ACDE$和$BCFG$,延长$GB$和$ED$交于点$H$,那么四边形$DCBH$为长方形,设$AB=10$,图中阴影部分面积为$24$,求两个正方形的面积和$S_{1}+S_{2}$.