$(1)$感知:如图$1$,$AD$平分$\angle BAC$,$\angle B+\angle C=180^{\circ}$,$\angle B=90^{\circ}$,易知$DB$,$DC$数量关系为:______.
$(2)$探究:如图$2$,$AD$平分$\angle BAC$,$\angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}$,$\angle ABD \lt 90^{\circ}$,（1）中的结论是否成立?请作出判断并给予证明.
$(3)$应用:如图$3$,在四边形$ABDC$中,$DB=DC$,$\angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}$,$\angle ABD \lt 90^{\circ}$,$DE\bot AB$于点$E$,试判断$AB$,$AC$,$BE$的数量关系,并说明理由.