如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=3cm$,$AB=5cm$,动点$P$从点$B$出发,$BA$边上以每秒$3cm$的速度向点$A$匀速运动,同时动点$Q$从点$C$出发,在$CB$边上以每秒$2cm$的速度向点$B$匀速运动,运动时间为$t$秒$(0＜t＜\frac{5}{3})$,连接$PQ.\left(1\right)$当$t$为何值时,以$B$、$P$、$Q$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似；
$(2)$当$t$为何值时,$\triangle BPQ$为以$PQ$为腰的等腰三角形；
$(3)$连接$AQ$,$CP$,若$AQ\bot CP$,直接写出$t$的值.