在平面直角坐标系中,函数$y=ax^{2}-2ax-4a\left(x \gt 0\right)$的图象记为$M_{1}$,函数$y=-ax^{2}-2ax+4a\left(x\leqslant 0\right)$的图象记为$M_{2}$,其中$a$为常数,且$a\neq 0$,图象$M_{1}$,$M_{2}$合起来得到的图象记为$M$.
$(1)$若图象$M_{1}$有最低点,且最低点到$x$轴距离为$3$,求$a$的值；
$(2)$若$a=1$时,点$A\left(m,n\right)$在图象$M$上,且$-1\leqslant m\leqslant 4$,求$n$的取值范围；
$(3)$若点$P$、$Q$的坐标分别为$\left(-5,-1\right)$,$\left(4,-1\right)$,连接$PQ$.当线段$PQ$与图象$M$恰有三个公共点时,请直接写出$a$的取值范围.