在数学课上,老师布置任务:利用尺规"作以线段$AB$为对角线的正方形".
小丽的作法如下:
①分别以点$A$、$B$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$为半径作弧,两弧交于$E$、$F$两点；
②连接$EF$,与$AB$交于点$O$；
③以点$O$为圆心,$OA$长为半径作弧,与$EF$交于$C$、$D$两点；
④分别连接线段$AC$,$BC$,$BD$,$DA$.所以四边形$ADBC$就是所求作的正方形.
根据小丽的作图过程,
$(1)$使用直尺和圆规,补全图形（保留作图痕迹）；
$(2)$完成下面的证明.
证明:$\because OA=OB$,$OC=OD$,
$\therefore$四边形$ADBC$为平行四边形$.( \_\_\_\_\_\_)(填推理的依据)$
$\because OA=OB=OC=OD$,即$AB=CD$,
$\therefore$四边形$ADBC$为矩形$.( \_\_\_\_\_\_)(填推理的依据)$
$\because CD \_\_\_\_\_\_AB$,
$\therefore$四边形$ADBC$为正方形$.( \_\_\_\_\_\_)(填推理的依据)$