毕达哥拉斯树也叫"勾股树",是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.如图,若正方形$A$,$B$,$C$,$D$的边长分别是$2$,$3$,$1$,$2$,则正方形$G$的边长是（ ）