我们知道,任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零,由此可得:如果$ax+b=0$,其中$a$、$b$为有理数,$x$为无理数,那么$a=0$,且$b=0$,运用上述知识可解决下列问题:若$\sqrt{2}a-b=3$,其中$a$、$b$为有理数,那么$a=0$,且$b=-3$.
$(1)$如果$\sqrt{2}(a-2)+b=4$,其中$a$、$b$为有理数,那么$a=$______,$b=$______；
$(2)$如果$(1+\sqrt{7})a-\sqrt{7}b=5$,其中$a$、$b$为有理数,求$ab$的算术平方根.