满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的三个正整数,称为勾股数.
$(1)$请把下列三组勾股数补充完整:①______,$8$,$10$；②$9$,______,$15$；③$9$,$40$,______.
$(2)$小明发现,很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成$2mn$,那么另外两个数可以写成$m^{2}+n^{2}$,$m^{2}-n^{2}$,如$4=2\times 2\times 1$,$5=2^{2}+1^{2}$,$3=2^{2}-1^{2}$,请你帮小明证明这三个数$2mn$,$m^{2}+n^{2}$,$m^{2}-n^{2}$是勾股数组.
$(3)$如果$28$,$96$,$100$是满足上述小明发现的规律的勾股数组,则$m+n=\_\_\_\_\_\_.$