课本中有一个例题：木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠$⊙O$于点$A$，并使较长边与$⊙O$相切于点$C.$记角尺的直角顶点为$B$，量得$AB=8cm$，$BC=16cm$，求$⊙O$的半径．

课本中给出的解答是：如图，连接$OC$，$OA$，作$AD⊥OC$，垂足为$D$，设圆的半径为$r\:cm$， $∵⊙O$与$BC$相切于点$C$，$∴OC⊥BC$， $∵AB⊥BC$，$AD⊥OC$，$∴$四边形$ABCD$为矩形， $∴AD=BC$，$DC=AB$，$OD=OC-CD=OC-AB$， 在${\rm Rt}\triangle AOD$中，$OA^{2}=OD^{2}+AD^{2}$，即$r^{2}=(r-8)^{2}+16^{2}$， 解得：$r=20$，即该圆的半径为$20cm.$

$(1)$课堂上，小敏同学说：“这个题目还可以用构造相似三角形的方法来求解！”请你根据小敏同学提到的方法解答这个问题；
$(2)$老师提出：若将角尺的两边抽象成两条互相垂直的射线．如图$(2)$，$∠PBQ=90°$，$⊙O$与$BQ$、$BP$分别交于点$C$、$D$与点$A$、$E$，若$AB=8$，$BC=6$，$CD=12.$求$AE$的长．