如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+4$与$x$轴交于点$A\left(-2,0\right)$和点$B\left(4,0\right)$,与$y$轴交于点$C$.
$(1)$求抛物线的函数解析式；
$(2)$点$P$为抛物线位于第一象限上一个动点,过点$P$作$PD\bot x$轴于点$D$,交直线$BC$于点$Q$,求线段$PQ$的最大值；
$(3)$点$M\left(-2,8\right)$,$N\left(3,8\right)$,将抛物线向上平移$m$个单位,若平移后的抛物线与线段$MN$只有一个公共点,直接写出$m$的取值范围.