综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图$1$是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^{2}$,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即$\frac{1}{2}ab×4+{({b-a})^2}$,从而得到等式${c^2}=\frac{1}{2}ab×4+{({b-a})^2}$,化简便得结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为"双求法".

【方法运用】千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在$2010$年构造发现了一个新的证法:把两个全等的直角$\triangle ABC$和$\triangle DEA$如图$2$放置,其三边长分别为$a$,$b$,$c$,$\angle BAC=\angle DEA=90^{\circ}$,显然$BC\bot AD$.
$(1)$请用$a$,$b$,$c$分别表示出四边形$ABDC$,梯形$AEDC$,$\triangle EBD$的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$(2)$【方法迁移】请利用"双求法"解决下面的问题:如图$3$,小正方形边长为$1$,连接小正方形的三个顶点,可得$\triangle ABC$,则$AB$边上的高为______.
$(3)$如图$4$,在$\triangle ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,$AB=4$,$AC=5$,$BC=6$,设$BD=x$,求$x$的值.