如图,抛物线$y=x^{2}+bx+c$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点,过点$A$的直线$l$交抛物线于点$C\left(2,m\right)$.
$(1)$求抛物线的解析式.
$(2)$点$P$是线段$AC$上一个动点,过点$P$作$x$轴的垂线交抛物线于点$E$,求线段$PE$最大时点$P$的坐标.
$(3)$点$F$是抛物线上的动点,在$x$轴上是否存在点$D$,使得以点$A$,$C$,$D$,$F$为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出所有满足条件的点$D$的坐标；如果不存在,请说明理由.