综合实践活动中,小明想观测底部无法到达的目标$P$的仰角.他自制一种测角仪,将细线一端固定在图$1$的量角器圆心$O$处,另一端系小重物$G$.测量时,使支杆$OM($高度为$1.5$米）、量角器$90^{\circ}$刻度线$ON$与铅垂线$OG$相互重合,然后按图$2$所示,绕点$O$转动量角器,使观测目标$P$与直径两端点$A$,$B$共线,小明通过量角器的刻度直接读取$\angle BOG$的度数$\alpha$,得到目标$P$的仰角$\angle POC$的度数.

$(1)$直接用含$\alpha$的代数式表示$\angle POC$的度数；
$(2)$如图$3$所示的皮尺,它的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度).请你帮助小明利用解直角三角形的知识求某座山峰的高度,写出你的测量步骤及求解过程.
要求:测量得到的线段用字母$a$,$b$,$c\ldots$表示,角用$\alpha$,$\beta$,$\gamma \ldots$表示；测量次数不超过$4$次.