某数学社团开展实践性研究,在大明湖南门$A$测得历下亭$C$在北偏东$37^{\circ}$方向,继续向北走$105m$后到达游船码头$B$,测得历下亭$C$在游船码头$B$的北偏东$53^{\circ}$方向.请计算一下南门$A$与历下亭$C$之间的距离约为$\left(\ \ \right)($参考数据:$\tan 37^{\circ}\approx \frac{3}{4}$,$\tan 53^{\circ}\approx \frac{4}{3})$