如图$1$,平面直角坐标系中,直线$y=-\frac{3}{4}x+m$交$x$轴于点$A\left(4,0\right)$,交$y$轴正半轴于点$B$,直线$AC$交$y$轴负半轴于点$C$,且$BC=AB$.

$(1)$求$\triangle ABC$的面积.
$(2)P$为线段$AB($不含$A$,$B$两点）上一动点.
①如图$2$,过点$P$作$y$轴的平行线交线段$AC$于点$Q$,记四边形$APOQ$的面积为$S$,点$P$的横坐标为$t$,当$S=\frac{{15}}{2}$时,求$t$的值.
②$M$为线段$BA$延长线上一点,且$AM=BP$,在直线$AC$上是否存在点$N$,使得$\triangle PMN$是以$PM$为直角边的等腰直角三角形?若存在,直接写出点$N$的坐标；若不存在,请说明理由.