随着梦天实验舱的顺利发射,我国空间站完成了在轨组装,为了庆祝这令人激动的时刻,科技馆开展了关于空间站的科学知识问答竞赛.为了奖励在竞赛中表现优异的选手,科技馆准备一次性购买$A$,$B$两种航天器模型作为奖品.已知购买$7$个$A$模型和$8$个$B$模型共需$380$元,也可以用$380$元购买$13$个$A$模型和$4$个$B$模型.
$(1)$求$A$模型和$B$模型的单价；
$(2)$根据科技馆实际情况,需一次性购买$A$模型和$B$模型共$20$个,且选手对$A$模型的喜爱,要求购买$A$模型的数量多于$12$个,且不超过$B$模型的$3$倍.请你给出一种费用最少的方案,并求出该方案所需的费用.