$2024$年$4$月$14$日$7:30$,$2024$苏州马拉松在苏州市金鸡湖畔鸣枪起跑,比赛赛道先后经过金鸡湖、盘门、寒山寺、干将路、文化艺术中心等城市地标及人文景观.学生小明操控无人机记录下了赵老师在干将路$PQ$段参赛过程.小明在点$B$处发现在点$A$处的赵老师以每分钟$250$米的速度从$P$向$Q$匀速前进,$1$分钟后他发现赵老师已经跑到了离他$200$米的位置点$C$处.

$(1)$若$\angle ABC=90^{\circ}$,请求出$AB$的长度；
$(2)$在（1）的条件下,点$M$以$250m/\min$的速度从点$A$出发,在点$M$前方$90$米的点$N$以$200m/\min$的速度匀速前进,在点$M$追上点$N$前,经过多少分钟,$\triangle BMN$是以$MN$为底的等腰三角形.