已知关于$x$的一元一次不等式组$\left\{\begin{array}{c}2x-1≤3(x-2)\\ \frac{x-a}{2}＞1\end{array}\right.$.
$(1)$若此不等式组的解集为$x\geqslant 5$,则$a$的取值范围为______.
$(2)$在（1）的条件下,若关于$y$的分式方程$\frac{y}{y-2}+\frac{a}{2-y}=-1$有非负数解,则符合条件的所有整数$a$的和为______.