综合与探究:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}-2x+c$与$x$轴交于点$A\left(-3,0\right)$和点$C$,与$y$轴交于点$B\left(0,3\right)$,点$P$是抛物线上点$A$与点$C$之间的动点（不包括点$A$,点$C)$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$动点$P$在抛物线上,且在直线$AB$上方,求$\triangle ABP$面积的最大值及此时点$P$的坐标；
$(3)$在（2）的条件下,将该抛物线向右平移$2.5$个单位,点$F$为点$P$的对应点,平移后的抛物线与$y$轴交于点$E$,$Q$为平移后的抛物线的对称轴上任意一点,若$\triangle QFE$是以$QE$为腰的等腰三角形,求出所有符合条件的点$Q$的坐标.