若不等式$($组$)$只有$n$个正整数解$(n$为自然数$)$，则称这个不等式$($组$)$为$n$阶不等式$($组$).$
我们规定：当$n=0$时，这个不等式$($组$)$为$0$阶不等式$($组$).$
例如：不等式$x+1< 6$只有$4$个正整数解，因此称其为$4$阶不等式．
不等式组$\begin{cases}{x+1>2}\\ {2x-3< 7}\end{cases}$只有$3$个正整数解，因此称其为$3$阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
$(1)x< \dfrac {1}{2}$是 ______阶不等式；$\begin{cases}{x>1}\\ {x-3< 0}\end{cases}$是 ______阶不等式组；
$(2)$若关于$x$的不等式组$\begin{cases}{2x-4a< 0}\\ {2+3x\geqslant\dfrac{x+9}{2}}\end{cases}$是$4$阶不等式组，求$a$的取值范围；
$(3)$关于$x$的不等式组$\begin{cases}{x\geqslant p}\\ {x< m}\end{cases}$的正整数解有$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，…其中$a_{1}< a_{2}< a_{3}< a_{4}<$…
如果$\begin{cases}{x\geqslant p}\\ {x< m}\end{cases}$是$(m-3)$阶不等式组，且关于$x$的方程$2x-m=0$的解是$\begin{cases}{x\geqslant p}\\ {x< m}\end{cases}$的正整数解$a_{3}$，请求出$m$的值以及$p$的取值范围．