图$1$是凸透镜成像示意图,蜡烛$AC$发出的光线$CE$平行于直线$AB$,经凸透镜$MV$折射后,过焦点$F$,并与过凸透镜中心$O$的光线$CO$交于点$D$,从而得到像$BD$.其中,物距$AO=u$,像距$BO=v$,焦距$OF=f$,四边形$AOEC$是矩形,$DB\bot AB$,$MN\bot AB$.

$(1)$如图$2$,当蜡烛$AC$在离凸透镜中心一倍焦距处时,即$u=f$,请用所学的数学知识说明此时"不成像"；
$(2)$如图$3$,若物距$u=8cm$,焦距$f=15cm$时,成放大、正立的虚像,虚像与物在凸透镜$MN$同侧,此时虚像$BD$长度为$15cm$,蜡烛$AC$的长为$10cm$,求此时像距$v$的长；
$(3)$若蜡烛$AC$的长为$5cm$,物距$u=15cm$,焦距$f=10cm$,求像距$v$和像$BD$的长.