规定两数$a$,$b$之间的一种运算,记作【$a$,$b$】:如果$a^{c}=b$.那么【$a$,$b$】$=c$
例如因为$2^{3}=8$.所以【$2$,$8$】$=3$
$(1)$根据上述规定,填空:【$4$,$16$】$=$______,【$7$,$1$】$=$______【______,$81$】$=4$
$(2)$小明在研究这种运算时发现一个现象【$3^{n}$,$4^{n}$】$=$【$3$,$4$】小明给出了如下的证明:
设【$3^{n}$,$4^{n}$】$=x$,则$(3^{n})^{x}=4^{n}$,即$(3^{x})^{n}=4^{n}$,所以$3^{x}=4$
即【$3$,$4$】$=x$所以【$3^{n}$,$4^{n}$】$=$【$3$,$4$】请你尝试运用这种方法解决下列问题:
①证明:【$6$,$45$】$-$【$6$,$9$】$=$【$6$,$5$】
②猜想:【$\left(x+1\right)^{n}$,$\left(y-1\right)^{n}$】$+$【$\left(x+1\right)^{n}$,$\left(y-2\right)^{n}$】$=$【______$,$______】（结果化成最简形式）