$2002$年$8$月在北京召开了国际数学大会,大会会标如图$1$所示,它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,四个直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$,斜边长为$c$.
$(1)$通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式.
①图$1$中阴影部分小正方形的边长可表示为______
②图$1$中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______、______；
③你能得出的$a$,$b$,$c$之间的数量关系是______$(等号两边需化为最简形式)$；
④一直角三角形的两条直角边长为$8$和$15$,则其斜边长为______.
$(2)$通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式.如图$2$是边长为$a+b$的正方体,被如图所示的分割线分成$8$块.
①用不同方法计算这个正方体体积,就可以得到一个等式,这个等式可以为______；
②已知$a+b=5$,$ab=3$,利用上面的规律求$a^{3}+b^{3}$的值.