如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+3$经过$A\left(-3,0\right)$,$B\left(1,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$,其顶点为$D$,连接$AD$,点$P$是线段$AD$上一个动点（不与$A$,$D$重合）,过点$P$作$y$轴的垂线,垂足点为$E$,连接$AE$.
$(1)$求抛物线的函数解析式,并写出顶点$D$的坐标；
$(2)$如果$P$点的坐标为$\left(x,y\right)$,$\triangle PAE$的面积为$S$,求$S$与$x$之间的函数关系式,直接写出自变量$x$的取值范围,并求出$S$的最大值.