已知一次函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$中,自变量$x$与函数值$y$的几组对应值如下表,根据表中数据判断,下列说法正确的是______.

$x$	$\ldots$	$-2$	$-1$	$1$	$2$	$3$	$\ldots$
$y$	$\ldots$	$-8$	$-1$	$13$	$20$	$27$	$\ldots$

$(1)$该函数的表达式为$y=6x+7$；
$(2)$点$\left(0,6\right)$不在该函数的图象上；
$(3)$该函数图象经过第一、二、三象限；
$(4)$该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为$7$.