如图,抛物线经过$A\left(-1,0\right)$,$B\left(5,0\right)$,$C(0$,$-\frac{5}{2})$三点.
$(Ⅰ)$求抛物线的解析式；
$(Ⅱ)$在抛物线的对称轴上有一点$P$,使$PA+PC$的值最小,求点$P$的坐标.
$($Ⅲ）点$M$为$x$轴上一动点,在抛物线上是否存在一点$N$,使以$A$,$C$,$M$,$N$四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点$N$的坐标；若不存在,请说明理由.