如图,已知抛物线$y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+bx+c$交$x$轴于$A\left(-3,0\right)$,$B\left(4,0\right)$两点,交$y$轴于点$C$,点$P$是抛物线上一点,连接$AC$,$BC$.
$(1)$求$b$,$c$的值；
$(2)$若点$P$在第一象限内,过点$P$作$PQ\bot x$轴交直线$BC$于点$D$,求线段$PD$的最大值；
$(3)$连接$OP$,$BP$,若$S_{\triangle BOP}=2S_{\triangle AOC}$,请判断是否存在符合要求的点,若存在求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.