$(1)$如图$1$,在三角形$ABC$中,$N$是$BC$中点,连结$AN$,$M$是$AN$上任意一点,过点$M$作$DE$∥$BC$分别交$AB$,$AC$于点$D$、$E$,求证:$M$是$DE$中点；
$(2)$如图$2$,在四边形$ABCD$中$,AB$∥$CD,AD$与$BC$不平行,$\angle DCB=60^{\circ}$,$AD=AB=CB=2$,连结对角线$AC$,$BD$交于点$O$,$E$是$AD$上的点.过点$E$作$EF$∥$DB$交$AB$于点$F.AC$于点$M$,求$EM:MF$的值；
$(3)$如图$3$,在菱形$ABCD$中,$\angle D=120^{\circ}$,$AB=4$,分别取菱形各边的中点$G$,$H$,$P$,$Q$并顺次连结得到四边形$PQGH$,连结$PG$,$HQ$交于点$O$,$E$是$PQ$上一动点,作$EF$∥$QH$交$PH$于点$F$,交$PG$于点$M$,过点$M$作$MN$垂直$EM$交$OG$于点$N$,连结$EN$,求$EN$的最小值.