【问题探究】
$(1)$如图$1$,在菱形$ABCD$中,$\angle A=60^{\circ}$,点$E$、$F$分别在边$AD$、$CD$上,连接$BE$、$BF$、$EF$,$\angle EBF=60^{\circ}$,将$\triangle ABE$绕点$B$顺时针旋转得到$\triangle CBG$,连接$FG$,求证:$EF=GF$；
【问题解决】
$(2)$如图$2$,有一个正方形草地$ABCD$,$AB=20m$,现计划将该草地扩建成四边形$EBFG$,$EG=EB=BF=FG$,$EG\bot EB$,连接$BG$,$BG$与边$AD$有交点,交点为$M$,边$CD$与边$BF$有交点,交点为$N$,连接$MN$,计划沿$\triangle MND$三边修建围栏,在$\triangle MND$区域建儿童活动区,请求出需要围栏的总长（即$\triangle MND$的周长).