定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的"关联方程".例如:$2x=4$的解为$x=2$,$\left\{\begin{array}{l}3x＜12\\ 5x≥2x-9\end{array}\right.$的解集为$-3\leqslant x \lt 4$,不难发现$x=2$在$-3\leqslant x \lt 4$的范围内,所以$2x=4$是$\left\{\begin{array}{l}3x＜12\\ 5x≥2x-9\end{array}\right.$的"关联方程".
$(1)$在方程①$3x=1$,②$5x+6=21$,③$2x-3=0$中,不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x≤5\\ x＞1\end{array}\right.$的"关联方程"是______$;(填序号)$
$(2)$若关于$x$的方程$2x-k=4$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x+8≥x-1\\ 4x-6＜2\end{array}\right.$的"关联方程",求$k$的取值范围；
$(3)$若方程$4x+8=0,\frac{3x-9}{2}=-9$都是关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}(m-2)x＜m-2\\ x+7≥m\end{array}\right.$的"关联方程",试求$m$的取值范围.