小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图（1）所示,输入$x$的值为$-2$时,输出$y$的值为$1$；输入$x$的值为$2$时,输出$y$的值为$3$；输入$x$的值为$3$时,输出$y$的值为$6$.
$(1)$直接写出$k$,$a$,$b$的值.
$(2)$小明在平面直角坐标系中画出了关于$x$的函数图象,如图（2）.
$Ⅰ$.当$y$随$x$的增大而增大时,求$x$的取值范围.
$Ⅱ$.若关于$x$的方程$ax^{2}+bx+3-t=0(t$为实数）,在$0 \lt x \lt 4$时无解,求$t$的取值范围.
Ⅲ.若在函数图象上有点$P$,$Q(P$与$Q$不重合$).P$的横坐标为$m$,$Q$的横坐标为$-m+1$.小明对$P$,$Q$之间（含$P$,$Q$两点）的图象进行研究,当图象对应函数的最大值与最小值均不随$m$的变化而变化,直接写出$m$的取值范围.