如图,抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+2)(x-t)(t＞0)$与$x$轴交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$的左侧）,与$y$轴正半轴交于点$C$,已知抛物线的对称轴为直线$x=1$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$在抛物线的对称轴上是否存在点$D$,使得$\triangle DBC$为等腰三角形?若存在,求出点$D$的坐标；若不存在,请说明理由.