阅读以下材料,完成课题研究任务:
【研究课题】设计公园喷水池
【素材$1$】某公园计划修建一个图$1$所示的喷水池,水池中心$O$处立着一个高为$2m$的实心石柱$OA$,水池周围安装一圈喷头,使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出,并在石柱顶点$A$处汇合.为使水流形状更漂亮,要求水流在距离石柱$0.5m$处能达到最大高度,且离池面的高度为$2.25m$.
【素材$2$】距离池面$1.25$米的位置,围绕石柱还修了一个小水池,要求小水池不能影响水流.
【任务解决】
$(1)$小张同学设计的水池半径为$2m$,请你结合已学知识,判断他设计的水池是否符合要求.
$(2)$为了不影响水流,小水池的半径不能超过多少米?