【材料背景】在习题课上,老师让同学们以课本第$22$页的一道习题"如图$1(习题图简化后)$,$A$,$B$,$C$,$D$四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库$P$和$Q$分别位于$AD$和$DC$上,且$PD=QC$.证明两条直路$BP=AQ$且$BP\bot AQ$."为背景开展数学探究.
$(1)$【独立思考】将课本习题条件中的$PD=QC$去掉,将结论中的$BP\bot AQ$变为条件,其他条件不变,那么$BP=AQ$还成立吗?请写出答案并说明理由.
$(2)$【合作交流】"祖冲之"小组的同学受此问题的启发提出:如图$2$,在正方形$ABCD$内有一点$P$,过点$P$作$EF\bot GH$,点$E$,$F$分别在正方形的对边$AD$,$BC$上,点$G$,$H$分别在正方形的对边$AB$,$CD$上,那么$EF$与$GH$相等吗?请写出答案并说明理由.
$(3)$【拓展应用】"杨辉"小组的同学受"祖冲之"小组的启发,进一步拓展探究:如图$3$,将边长为$10cm$的正方形纸片$ABCD$折叠,使点$A$落在$DC$的中点$E$处,折痕为$MN$,点$N$在$BC$边上,点$M$在$AD$边上.请先画出折痕,并求折痕$MN$与线段$DM$的长.