如图,在菱形$ABCD$中,$\angle DAB=60^{\circ}$,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$P$为线段$OB$上一点,连接$CP$,将线段$CP$绕点$P$顺时针旋转,交$AB$延长线于点$Q$.
$(1)$求证:$AP=PQ$；
$(2)$在$P$点运动过程中,$\angle CPQ$的大小是否发生变化?请说明理由；
$(3)$判断线段$DP$与线段$BQ$的数量关系,并证明.