如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle CBA=90^{\circ}$,$\angle CAB$的角平分线$AP$和$\angle MCB$的平分线$CF$相交于点$D.AD$交$CB$与点$P$,$CF$交$AB$的延长线于点$F$,过点$D$作$DE\bot CF$交$CB$的延长线于点$G$,交$AB$的延长线于点$E$.连接$CE$并延长交$FG$于点$H$.
$(1)$求$\angle ADF$的度数；
$(2)$求证:$AF=AC+CG$；
$(3)$探究$\frac{CF-EG}{CD}$是否为定值,若是,求出该定值,若不是请说明理由.