用一根绳子围成一个长$a m$,宽$b m$的长方形.
【基础设问】
$(1)$下列说法可以用$2\left(a+b\right)$表示的是______.
$A.a$的$2$倍与$b$的和
$B.a$与$b$的$2$倍的和
$C.a$与$b$的和的$2$倍
$D.2$与$a$的乘积与$b$的和
$(2)$与出一个与$-2ab$是同类项的单项式:______.
$(3)$多项式$-2(a^{2}-2ab+b^{2})$去括号后的结果是______,这个结果是______次______项式,这个结果按字母$b$的降幂排列是______.
$(4)$在围成的长方形中,分别以它的两个顶点为圆心,$b m$为半径作两个不重叠的四分之一圆,如图$1$.

①用代数式表示阴影部分的面积；
②当$a=10$,$b=4$时,求阴影部分的面积.(结果保留$\pi )$
【能力设问】
$(5)$若有理数$a$,$b$在数轴上的位置如图$2$所示,且$c$为最大的负整数.化简:$|a-b|-2|b-a+c|+2|b-c|=\_\_\_\_\_\_.$
$(6)$若$a=b$,则用绳子围成的是正方形,图$3$图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有$5$个正方形,第②个图形中一共有$12$个正方形,第③个图形中一共有$21$个正方形$\ldots$按此规律排列,则第⑧个图形中正方形的个数为______.
【拓展设问】
$(7)$若$a$,$b$,$m$组成一个三位数$\overline{abm}$,阅读下列材料,判断三位数$abm$能否被$7$整除.

割尾法:三位数$\overline{abm}$割掉末位数字$m$得两位数$\overline{ab}$,再用$\overline{ab}$减去$m$的$2$倍所得的差为$\overline{ab}-2m$.若$\overline{ab}-2m$是$7$的倍数,则$\overline{abm}$能被$7$整除.

举例:对于三位数$364$,割掉末位数字$4$得$36$,$36-4\times 2=28$,因为$28$是$7$的倍数,所以$364$能被$7$整除.

【类比解决】尝试用"割尾法"判断$455$能否被$7$整除.
【推理验证】已知三位数$\overline{abm}$.
①请用含$a$,$b$,$m$的代数式表示"割尾法"后所得的差$\overline{ab}-2m$；
②现在对材料中的判断方法"若$\overline{ab}-2m$是$7$的倍数,则$\overline{abm}$能被$7$整除"进行验证,下面是思路分析.
分析:要说明$\overline{abm}$能被$7$整除,需把$\overline{abm}$表示成$7$的倍数.已知$\overline{abm}=100a+10b+m=10\left(10a+b\right)+m\left(i\right)$.因为$\overline{ab}-2m$是$7$的倍数,可设$\overline{ab}-2m=$①中的代数式$=7k(k$为整数$)\left(ii\right)$.只需把$\left(ii\right)$式变形代入$\left(i\right)$式即可.
请根据上述分析写出推理过程.