每个程序段由若干条指令组成,老师设计了一段运算程序如图:

例如:当输入$x$的值为$-1$时,计算结果$\sqrt{3}＜4$；将输入值变为$\left(-1\right)+1=0$,计算结果为$\sqrt{6}＜4$；再将输入值变为了$0+1=1$,继续运算,直到计算结果不小于$4$,才输出该结果.
请思考下列问题.
$(1)$当输入$x$的值为$5$,则输出$y$的值是多少?请列式计算.
$(2)$当起始输入$x$的值为$1$,请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出$y$.