新定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$有两个实数根$x_{1}$,$x_{2}$且$|x_{1}-x_{2}|=1$,那么称这样的方程为"邻近根方程",例如,一元二次方程$x^{2}-x=0$的两个根是$x_{1}=0$,$x_{2}=1$,$|0-1|=1$,则方程$x^{2}-x=0$是"邻近根方程".
$(1)$判断方程$2x^{2}-6\sqrt{3}x+13=0$是否是"邻近根方程"；
$(2)$若关于$x$的方程$2x^{2}+bx+c=0(b$,$c$是常数）是"邻近根方程",求$3b^{2}-4c^{2}$的最大值.