又到了桔子成熟的时节,源源食品厂以新鲜桔子为原材料加工制作的桔子罐头深受市场的欢迎.源源食品厂有$A$,$B$两条加工相同原材料的生产线,$A$生产线将$a$吨原材料加工成桔子罐头需要$\left(3a+1\right)$天；$B$生产线将$a$吨原材料加工成桔子罐头需要$\left(2a+2\right)$天.第一批,该厂将$7$吨原材料分配到$A$,$B$两条生产线,两条生产线在相同时间内完成了加工,则分配到$A$生产线的吨数与分配到$B$生产线的吨数的比为______,第二批开工前,该厂按第一批的分配结果分配了$7$吨原材料后,又给$A$生产线分配了$m$吨原材料,给$B$生产线分配了$n$吨原材料,若两条生产线都能在相同时间内加工完各自分配到的所有原材料,则$\frac{m}{n}$的值为______.