已知:$O$为直线$AB$上的一点,以$O$为观察中心,射线$OA$表示正北方向,$ON$表示正东方向（即$AB\bot MN)$,射线$OC$,射线$OE$的方向如各图所示.
$(1)$如图$1$所示,当$\angle COE=90^{\circ}$时:
①若$\angle AOE=20^{\circ}$,则射线$OE$的方向是______.
②$\angle AOE$与$\angle CON$的关系为______.
③$\angle AOC$与$\angle EON$的关系为______.
$(2)$若将射线$OC$,射线$OE$绕点$O$旋转至图$2$的位置,另一条射线$OF$恰好平分$\angle COM$,旋转中始终保持$\angle COE=90^{\circ}$.
①若$\angle AOF=24^{\circ}$,则$\angle EOF=$______度.
②若$\angle AOF=\beta$,则$\angle CON=$______(用含$\beta$的代数式表示).
$(3)$若将射线$OC$,射线$OE$绕点$O$旋转至图$3$的位置,射线$OF$仍然平分$\angle COM$,旋转中始终保持$\angle COE=90^{\circ}$,则$\angle CON$与$\angle AOF$之间存在怎样的数量关系,并说明理由.