综合与探究
如图$1$,抛物线$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$与$x$轴交于$A$,$B\left(4,0\right)$两点（点$A$在点$B$的左边),与$y$轴交于点$C\left(0,2\right)$.点$D$在第一象限内的抛物线上.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$若${S}_{△COD}=\frac{1}{3}{S}_{△OBD}$,求出点$D$的坐标；
$(3)$如图$2$,在满足（2）的条件下,连接$BC$交$OD$于点$E$.则$BC$是否平分线段$OD$?请说明理由.