小明在解决问题:已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$,求$2a^{2}-8a+1$的值.他是这样分析与解的:
$\because a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$,
$\therefore a-2=-\sqrt{3}$,$\therefore \left(a-2\right)^{2}=3$,$a^{2}-4a+4=3$,
$\therefore a^{2}-4a=-1$,$\therefore 2a^{2}-8a+1=2(a^{2}-4a)+1=2\times \left(-1\right)+1=-1$.
请你根据小明的分析过程,解决如下问题:
$(1)$观察上面解答过程,请写出$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=$______；
$(2)$化简$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}+⋯+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}$；
$(3)$若$a=\frac{1}{\sqrt{26}-5}$,请按照小明的方法求出$a^{3}-11a^{2}+9a+1$的值.