如图①,已知抛物线$y_{1}=x^{2}+bx+c$与$x$轴交于两点$O\left(0,0\right)$、$A\left(2,0\right)$,将抛物线$y_{1}$向右平移两个单位长度,得到抛物线$y_{2}$.点$P$是抛物线$y_{1}$在第四象限内一点,连接$PA$并延长,交抛物线$y_{2}$于点$Q$.
$(1)$求抛物线$y_{2}$的表达式；
$(2)$设点$P$的横坐标为$x_{P}$,点$Q$的横坐标为$x_{Q}$,求$x_{Q}-x_{P}$的值；
$(3)$如图②,若抛物线$y_{3}=x^{2}-8x+t$与抛物线$y_{1}=x^{2}+bx+c$交于点$C$,过点$C$作直线$MN$,分别交抛物线$y_{1}$和$y_{3}$于点$M$、$N(M$、$N$均不与点$C$重合）,设点$M$的横坐标为$m$,点$N$的横坐标为$n$,试判断$|m-n|$是否为定值.若是,直接写出这个定值；若不是,请说明理由.