定义:如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的"友好方程",例如:方程$2x-6=0$的解为$x=3$,不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-2＞0\\ x＜5\end{array}\right.$的解集为$2 \lt x \lt 5$.因为$2 \lt 3 \lt 5$,所以称方程$2x-6=0$为不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-2＞0\\ x＜5\end{array}\right.$,的"友好方程".（1）下列方程是不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-1＞0\\ x＜3\end{array}\right.$的"友好方程"的是______$;(填序号)$
①$x-2=0$；
②$2x+1=0$；
③$-2x-2=0$.
$(2)$若关于$x$的方程$3x-3k=3$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x-6＞4-2x\\ x-1≥4x-16\end{array}\right.$的"友好方程",求$k$的取值范围；
$(3)$若方程$2x+4=0$,$\frac{2x-1}{3}=-1$都是关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{c}(m-2)x＜m-2\\ x+5≥m\end{array}\right.$的"友好方程",其中$m\neq 2$,求$m$的取值范围.